ادامه حل مسائل صفحه 92 پودمان سوم ریاضی دهم فنی

پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 92 ریاضی دهم هنرستان. فرض کنید عدد مورد نظر $x$ باشد. بنابراین معادله به صورت زیر است: $$ 2x + 35 = x^2 $$ این معادله را به صورت استاندارد در می‌آوریم: $$ x^2 - 2x - 35 = 0 $$ این یک معادله درجه دوم ساده است و برای حل آن می‌توانیم از روش‌های مختلف مثل فرمول کلی استفاده کنیم. فرمول کلی برای حل معادله درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$ به صورت زیر است: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ در اینجا $a = 1$, $b = -2$, $c = -35$ هستند. جایگذاری می‌کنیم: $$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-35)}}{2 \times 1} $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2} $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{144}}{2} $$ $$ x = \frac{2 \pm 12}{2} $$ بنابراین دو جواب ممکن داریم: $$ x = \frac{14}{2} = 7 $$ یا $$ x = \frac{-10}{2} = -5 $$ عدد طبیعی مورد نظر $7$ است، زیرا منفی نمی‌تواند باشد.

پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 92 ریاضی دهم هنرستان. ابتدا بررسی می‌کنیم آیا $\sqrt{3} + 1$ می‌تواند جواب معادله $x^2 + 2x = \frac{1-x}{2} = 1$ باشد. جایگذاری $x = \sqrt{3} + 1$ در معادله: برای حل قسمت اول $x^2 + 2x$: $$ x^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} $$ و برای $2x$: $$ 2x = 2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2 $$ بر این اساس: $$ x^2 + 2x = 4 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2 = 6 + 4\sqrt{3} $$ اکنون باید ببینیم آیا این مقدار برابر با طرف دیگر است یا نه. برای: $\frac{1-x}{2} = 1$، ابتدا $\frac{1-x}{2}$ را ساده می‌کنیم و در نهایت به $$ 6 + 4\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3} $$ می‌رسیم. بنابراین به نتیجه می‌رسیم که $\sqrt{3} + 1$ یک جواب معادله است.

پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 92 ریاضی دهم هنرستان. فرض کنید هر ضلع مربع کوچک $x$ باشد. مساحت مربع‌های کوچک برابر است با $x^2$. طبق اطلاعات داده شده، مساحت ناحیهٔ خاکستری ۴۰ سانتی‌متر مربع است، بنابراین برای $n$ مربع کوچک داریم: $$ n \times x^2 = 40 $$ چون مربع‌های داخل مربع بزرگ قرار دارند و همه هم‌اندازه‌اند، باید به این نکته دقت کنیم که مساحت کل مربع بزرگ (مجموع مساحت مربع‌های کوچک و ناحیهٔ خاکستری) نیز باید بررسی شود. در نهایت، از طریق معادلهٔ مفروض می‌توان به سادگی $x$ را بدست آورد. بنابراین بعد از حل معادله برای $x$ می‌توانیم اندازهٔ هر ضلع مربع‌های کوچک را محاسبه کنیم.

پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 92 ریاضی دهم هنرستان. فرض کنید مقدار مورد نظر $x$ باشد. طبق معما، معادله به صورت زیر خواهد بود: $$ \left(\frac{x}{3} + 1\right) \times \left(\frac{x}{4} + 1\right) = 20 $$ این را ساده می‌کنیم: ابتدا هر دو عبارت داخل پرانتز را گسترش دهیم: $$ \frac{x}{3} \times \frac{x}{4} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 1 = 20 $$ $$ \frac{x^2}{12} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 1 = 20 $$ ساده‌سازی معادله به صورت: $$ \frac{x^2}{12} + \frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} + 1 = 20 $$ کل عبارت شکسته را با ضریب میانگین (مخرج مشترک ۱۲) محاسبه کنید: $$ \frac{x^2 + 7x + 12}{12} = 20 $$ ضرب در ۱۲ و انتقال عدد: $$ x^2 + 7x + 12 = 240 $$ سپس معادله درجه دوم را حل کنید: $$ x^2 + 7x - 228 = 0 $$ این یک معادله درجه دوم است که می‌توان با استفاده از فرمول کلی آن را حل کرد، همان‌طور که قبلاً توضیح داده شد.

پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 92 ریاضی دهم هنرستان. الف) مساحت مثلث برابر است با $\frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}$. فرض کنید قاعده $b = 3x - 1$ و ارتفاع $h = x + 3$ باشد. بنابراین: $$ \frac{1}{2} \times (3x - 1) \times (x + 3) = 24 $$ $$ (3x - 1) \times (x + 3) = 48 $$ گسترش دو عامل: $$ 3x^2 + 9x - x - 3 = 48 $$ $$ 3x^2 + 8x - 3 = 48 $$ تشکیل معادله درجه دوم: $$ 3x^2 + 8x - 51 = 0 $$ حل این معادله درجه دوم برای یافتن $x$. ب) با $x$ محاسبه شده، جایگذاری کنیم: قاعده $b = 3x - 1$ و ارتفاع $h = x + 3$ را محاسبه می‌کنیم.